Page 54 - Telebrasil - Maio/Junho 1981
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C A L C U L O D A T A X A D E J U R O S
( O U R E T O R N O )
P A R A U M F L U X O Q U A L Q U E R
§
O problema do cálculo da taxa de retorno
de um investimento, para um determinado fluxo, tem
Henrique Grynszpan
Formado no ITA, em 1970. sido resolvido pelo método de tentativas (a fim de zerar
Engenheiro eletrônico o valor atual do fluxo). O artigo se propõe desenvolver
Embratel — Implantação de
Sistemas de Microondas. um processo algebricamente simples de solução,
Introdução Pesquisaremos inicialmente um valor aproximado para a taxa
de juro. Em seguida, deflacionamos o fluxo com esta taxa (id),
Os juros compostos se desenvolvem na forma (1+i)n. No caso com o uso de máquina, ou o inteiro mais próximo, com o uso
de um fluxo qualquer, a solução seria desenvolver (l + i)n atra de tabelas.
vés do binômio de Newton, e tentar limitar a grau 4 ou grau 3.
Porém, a solução de uma equação de grau 3 é trabalhosa. Após a deflação, calculamos novamente a nova taxa de juro
(i'). Como V < 1%, a nova taxa é obtida com razoável precisão,
Através da translação da origem mostraremos ser possível re através de juros simples (l-\-in).
duzir o desenvolvimento do binômio ao primeiro grau, o que
equivale a juros simples (1 + in) A taxa real (i) é calculada através da relação:
(l + i)n = [1 + in] + y n ( n - l ) + ^ -n (n -l) (n -2) + ... (l+ i) = (l+ id) (1+i')
onde: id : taxa utilizada na deflação
Validade:
Suporemos in < 1,5 (é válido nas aplicações usuais)
Cálculo da taxa de deflação
Nova origem no meio do tempo máximo
Para in ^ 1 os termos do binômio são decrescentes. Com a tro
ca de variáveis, estendemos a validade para in - 1,5. Através da redução do binômio de Newton ao primeiro grau,
%
calcularemos a taxa de juro (aproximada); o que correspondea
Desenvolveremos três métodos sempre recorrendo n uma simples
juros simples (1 +in)
equação de primeiro grau. Mostraremos também um método para o
caso de prestações iguais (item 4). Demonstração
1. Método de deflação
Mostraremos que a nova origem é uma boa aproximação. Se
tomarmos o primeiro ou o último termo como origem:
Com nova origem no meio do tempo máximo; fornece três al
garismos significativos.
(1) (1 H)n = 1 +niu ; cálculo no último termo (iu>i)
2. Método do polinómio do 1." grau, com nova origem para
(2) (1 + i) n = l - n i p; cálculo no primeiro termo (i,,<i)
zerar o fluxo
Tomaríamos uma aproximação:
Fornece tipis algarismos significativos, mas é o mais simples em
cálculos.
(3) Íd = -y (Íu + Í„)
3. Método do polinómio de 3.° grau, com redução à
equação de l.° grau com nova origem para zerar o fluxo
Podemos simplesmente zerar o fluxo uma única vez no ponto
médio n/2. Isso equivale a somar (1) + (2) = (3)
Fornece três algarismos significativos, os cálculos são mais tra
balhosos que no método da deflação.
Exemplo IA:
Determine a taxa de retorno
Nota:
Para máquinas programáveis é possível muita precisão, com-
bini ndo os métodos (2) e (1), com sucessivas deflações.
Assim,
1+i = ( l+ i,) ( l+ i2) (1+i,)...
1. Método da deflação
Cálculo da taxa de deflação através de equação de l.° grau;
Nova origem no meio do tempo máximo
